Zielformel:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}=\text{konstant}}}\text{(Verallgemeinerung auf Ellipsen: }r\to a\text{, große Halbachse)}$$

Gültigkeitsbereich / Annahmen:

• Kreisbahnnäherung: Bahnradius $r$ konstant (Verallgemeinerung $r\to a$ am Ende der Herleitung).
• Zentralmasse $M$ viel größer als die Masse des Umlaufenden ($M\gg m$): $M$ ruht näherungsweise, $r$ ist der Abstand zu ihrem Massenmittelpunkt.
• Die Gravitation ist die einzige Kraft und übernimmt genau die Rolle der Zentripetalkraft ($F_Z=F_G$).
• Newtonsche Mechanik gültig ($v\ll c$, schwaches Gravitationsfeld).

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$F_Z=m{\omega }^{2}r={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$	Zentripetalkraft	✅ S. 2 („Zentripetalkraft $F_Z=m{\omega }^{2}r=\frac{m{v}^2}{r}$")
$F_G=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r^2}}$	Gravitationsgesetz	✅ S. 2 („Gravitationsgesetz")
$\omega ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}}=2\pi f$	Winkelgeschwindigkeit	✅ S. 2 („Winkelgeschwindigkeit")
$f={\displaystyle \frac{1}{T}}$	Frequenz	✅ S. 2 („Frequenz")
$v=\omega r$	Bahngeschwindigkeit	❌ nicht im Formelnheft — in der Prüfung selbst hinschreiben (folgt sofort aus den zwei Schreibweisen von S. 2: $a_Z={\omega }^{2}r=\frac{v^2}{r}\Rightarrow v=\omega r$)
${\left({\displaystyle \frac{T_1}{T_2}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}\right)}^3$	3. Keplergesetz (Verhältnisform)	✅ S. 2 („3. Keplergesetz") — siehe unten „Bezug zur Verhältnisform"

Herleitung (Schritt für Schritt)

1. Winkelgeschwindigkeit durch die Umlaufzeit ausdrücken (reine Definition: ein voller Umlauf bedeutet $\mathrm{\Delta }\phi =2\pi$ in der Zeit $\mathrm{\Delta }t=T$; gleichwertig aus S. 2: $\omega =2\pi f$ mit $f=1/T$):$$\omega =\frac{2\pi }{T}$$
2. Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit verknüpfen (bei gleicher Winkelgeschwindigkeit legt ein äußerer Punkt in gleicher Zeit einen längeren Bogen zurück: Bogenlänge $=\phi \cdot r$, durch die Zeit dividiert; oder Vergleich der zwei Schreibweisen von $a_Z$):$$v=\omega \cdot r$$
3. Zentripetalkraft mit $\omega$ schreiben (Einsetzen von $v^2={\omega }^2{r}^2$ in $F_Z=\frac{m{v}^2}{r}$ von S. 2 — so lässt sich später $\omega =2\pi /T$ direkt einsetzen):$$F_Z=\frac{m{\omega }^2{r}^2}{r}=m{\omega }^{2}r$$
4. Kräftegleichgewicht $F_Z=F_G$ ansetzen (der physikalische Kernschritt: kein Seil hält den Planeten — die Gravitation selbst ist die Zentripetalkraft; genau das rechtfertigt das Gleichsetzen):$$m{\omega }^{2}r=G\frac{M\cdot m}{r^2}$$
5. Masse $m$ des Umlaufenden kürzen ($m$ steht auf beiden Seiten linear und $m\ne 0$, Division erlaubt; physikalische Bedeutung: die Bahn ist unabhängig von der Masse des Umlaufenden — gleicher Orbit, gleiche Umlaufzeit):$${\omega }^{2}r=\frac{GM}{r^2}$$
6. Beide Seiten durch $r$ dividieren (reine Algebra, alle $r$ auf die rechte Seite; Achtung: kein „Kürzen", rechts entsteht $r^3$):$${\omega }^2=\frac{GM}{r^3}$$
7. $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$ einsetzen und quadrieren (die geometrische Größe $\omega$ durch die Messgröße $T$ ersetzen: ${\omega }^2=\frac{4{\pi }^2}{T^2}$):$$\frac{4{\pi }^2}{T^2}=\frac{GM}{r^3}$$
8. Über Kreuz umstellen: Variablen $T,r$ und Konstanten trennen (beide Seiten mit $\frac{T^2}{GM}$ multiplizieren — Zielform erreicht):$$\boxed{{\displaystyle \frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}}}$$Rechts stehen nur $G$ und die Zentralmasse $M$ → für alle Umlaufenden um denselben Zentralkörper dieselbe Konstante.
9. Verallgemeinerung $r\to a$ (Kreis → Ellipse) — nur Erläuterung, kein strenger Beweis: Nach dem 1. Keplerschen Gesetz sind die wahren Bahnen Ellipsen. Newton zeigte in seiner vollständigen Theorie: Die Beziehung gilt für Ellipsenbahnen unverändert, wenn man $r$ durch die große Halbachse $a$ ersetzt:$$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$$Der strenge Beweis erfordert die Lösung der Bewegungsgleichung für Ellipsenbahnen (zusammen mit dem Flächensatz) und liegt außerhalb des Prüfungsrahmens; dass die Kreisbahn-Herleitung genau dieselbe Konstante $\frac{4{\pi }^2}{GM}$ liefert, in der Prüfung aktiv als Erläuterung kennzeichnen.

Bezug zur Verhältnisform im Formelnheft

Das Formelnheft S. 2 gibt die Verhältnisform ${\left(\frac{T_1}{T_2}\right)}^2={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^3$ — ohne Konstante. Der Zusammenhang:

• Aus Schritt 8 folgt für zwei Körper um dasselbe $M$: $\frac{T_1^2}{r_1^3}=\frac{T_2^2}{r_2^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$. Über Kreuz umgestellt (beide Seiten mal $\frac{r_1^3}{T_2^2}$) ergibt das genau die Verhältnisform — sie ist eine direkte Folgerung aus der Form mit Konstante.
• Umgekehrt sagt die Verhältnisform nur, dass die Konstante für alle Planeten gleich ist, nicht wie groß sie ist; zur Bestimmung der Zentralmasse $M$ (Rechenbeispiel unten) braucht man die hergeleitete Form $\frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$.

Rechenbeispiel auf Prüfungsniveau ★: Sonnenmasse aus der Erdbahn

Erdbahn: $T=1\text{a}=\mathrm{3,156}\cdot {10}^7\text{s}$ (unbedingt in Sekunden umrechnen!), $a=\mathrm{1,496}\cdot {10}^{11}\text{m}$. Das dritte Keplergesetz nach $M$ auflösen:

$$M_{\odot }=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{T}^2}$$

Schrittweise einsetzen ($G=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{N·m}}^2}{{\text{kg}}^2}$, Formelnheft S. 1):

1. $a^3=(\mathrm{1,496}\cdot {10}^{11}{)}^3=\mathrm{3,348}\cdot {10}^{33}{\text{m}}^3$
2. $4{\pi }^2\cdot a^3=39,48\cdot \mathrm{3,348}\cdot {10}^{33}=\mathrm{1,322}\cdot {10}^{35}$
3. $T^2=(\mathrm{3,156}\cdot {10}^7{)}^2=\mathrm{9,960}\cdot {10}^{14}{\text{s}}^2$; $G{T}^2=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{9,960}\cdot {10}^{14}=\mathrm{6,647}\cdot {10}^4$
4. $M_{\odot }={\displaystyle \frac{\mathrm{1,322}\cdot {10}^{35}}{\mathrm{6,647}\cdot {10}^4}}\approx 1,99\cdot {10}^{30}\text{kg}\approx 2\cdot {10}^{30}\text{kg}$ ✓

Probe: stimmt fast exakt mit $M_S=\mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}$ kg aus dem Formelnheft S. 1 überein. Gleiches Verfahren: Erdmasse aus der Mondbahn, Masse des zentralen schwarzen Lochs aus Sternbahnen um das galaktische Zentrum — sobald etwas um $M$ kreist, lässt sich $M$ „wiegen".

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$T$	Umlaufzeit (Zeit für einen vollen Umlauf $360°$)	s (im Beispiel unbedingt Sekunden)
$r$	Radius der Kreisbahn (Abstand zum Massenmittelpunkt des Zentralkörpers)	m
$a$	große Halbachse der Ellipsenbahn (ersetzt $r$ nach der Verallgemeinerung)	m
$\omega$	Winkelgeschwindigkeit	rad/s
$\phi$	überstrichener Winkel	rad
$f$	Frequenz	Hz = 1/s
$v$	Bahngeschwindigkeit (tangential)	m/s
$m$	Masse des Umlaufenden (wird gekürzt)	kg
$M$	Masse des umkreisten Zentralkörpers	kg
$F_Z$	Zentripetalkraft	N
$F_G$	Gravitationskraft	N
$G$	Gravitationskonstante $=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{N·m}}^2}{{\text{kg}}^2}$ (Formelnheft S. 1)	N·m²/kg²
$M_{\odot }$	Sonnenmasse $=\mathrm{1,989}\cdot {10}^{30}$ kg (Formelnheft S. 1, „$M_S$")	kg

Verknüpfungen

• H08 — dasselbe Schema „zwei Kräfte gleichsetzen, Probemasse kürzen"; erst nach der Messung von $G$ liefert diese Formel $M$.
• Thema 11 §11.4 — Original-Herleitung im Skript (identische neun Schritte) und Tabelle der umkreisten Massen.
• Thema 2 §2.2 — dasselbe Gleichgewicht $F_Z=F_G$ liefert die Bahngeschwindigkeit; §2.3 geostationäre Bahn = diese Formel nach $r$ aufgelöst.
• Thema 8 §8.7 — warum es die Zentripetalkraft gibt und warum sie eine „Rolle", keine eigenständige Kraft ist.